USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 3
Considere uma função , definida em . As curvas de nível e são, respectivamente:
uma parábola e um par de retas concorrentes.
uma parábola e uma hipérbole.
um par de retas paralelas e uma elipse.
uma hipérbole e uma parábola.
um par de retas concorrentes e uma elipse.
Passo 1
Oiie, tudo bem contigo?
O enunciado nos dá uma função qualquer válida para todo o exceto a origem, e pede para analisarmos a forma das curvas de nível e . Mas o que é uma curva de nível e ? Primeiro, uma curva de nível é obtida tal que
Em que o valor de indica o seu nível. Nós queremos analisar quando tivermos e . Bora lá!
Passo 2
Usando o formato de e , temos
Agora é rodar a manivela algébrica e ver o que dá! Vamos multiplicar os dois lados por , temos
Se expandirmos os quadrados, podemos obter
Juntando termos para simplificar a equação
Agora precisamos reescrever isso um pouquinho para podermos identificar o que ela é! Saca só!
Passo 3
Se completarmos o quadrado em
O que é uma parábola com concavidade para a esquerda! Vamos analisar a outra agora!
Passo 4
Usando o formato de e , temos
Agora é rodar a manivela algébrica e ver o que dá! Vamos multiplicar os dois lados por , temos
Se expandirmos os quadrados, podemos obter
Juntando termos para simplificar a equação
Da mesma forma que anteriormente precisamos reescrever um pouco esta expressão! Vem comigo!
Passo 5
Se completarmos o quadrado em e em
O que é a equação de uma hipérbole! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Uma parábola e uma hipérbole