Seja

a) Determine o domínio da função e esboce seu gráfico.

b) Encontre a curva de nível da função que contém o ponto .

c) Dê uma parametrização para a curva do item .

Portanto, o domínio da função é o interior da elipse dada pela equação

É uma elipse centrada na origem e cujos semieixos valem no eixo , e no eixo .

Saca só a cara dela:

Tranquilo, achamos o domínio, mas agora precisamos esboçar o gráfico.

Vamos elevar isso ao quadrado (mas não podemos esquecer depois que ):

Isso tá com uma cara de elipsoide, de equação característica

Então vamos dividir tudo por 24, o que dá:

Realmente, isso é a equação de um elipsoide, com e .

Isso significa que se cortarmos o gráfico da função com planos paralelos aos planos coordenados vamos obter elipses.

No plano temos

que é a seguinte elipse:

No plano temos

que é a elipse:

Por fim, a interseção do gráfico com o plano é a elipse

Portanto, o gráfico que precisamos esboçar é a metade de um elipsoide (lembra que ?) cujas interseções com os planos coordenados são essas elipses que a gente viu aí em cima.

Aqui está nosso gráfico!

b)

Primeiro vamos determinar qual é o nível da curva de nível a qual o ponto pertence. Pra isso, vamos calcular o valor de em :

Beleza, então pertence à curva de nível de .

Agora vamos identificar essa curva, igualando a expressão da função a :

E isso, como era de se esperar, é a equação de uma elipse (é uma curva de nível de um elipsoide)!

Podemos botá-la na forma padrão dividindo tudo por 18:

Essa é a nossa curva !

c)

Vai que tá quase acabando! Agora só nos resta parametrizar essa elipse do item anterior. Tranquilo né?

Lembrando que tendo a equação de uma elipse na forma

podemos parametrizá-la assim:

Portanto, uma parametrização da curva é:

Pronto, só isso! :)