USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 26
Suponha que a imagem da curva está contida na curva de nível 3 da função , em que . Então, a reta tangente a em é
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Fala pessoal, beleza? Preparados para mais uma questão?
O enunciado diz que a curva está contida na curva de nível da função . Queremos saber qual a reta tangente à curva no ponto . Para isso, lembre que o vetor tangente à curva é
Nesse caso, como , temos que
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente:
O ponto é um ponto da reta e é vetor diretor! é o parâmetro da equação vetorial.
Passo 2
Legal, mas como fazer tudo isso? Temos que achar e ! Para isso, usamos a principal informação do enunciado: a imagem da curva está contida na curva de nível da função .
Assim, se compusermos com , devemos obter 3, pois para todos os pontos da curva o valor de é :
Assim,
Trocando e na equação de :
Assim,
Fazendo :
Assim, como :
Passo 3
Derivando :
Fazendo :
Assim, como :
Passo 4
Agora que temos e , vamos para a equação da reta:
Logo, como :
Assim,
Isolando na primeira equação:
Substituindo na segunda:
Assim, a equação da reta é
Vemos que a resposta está na alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.