Curvas Parametrizadas, Derivadas Direcionais, Regra da Cadeia
A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por , onde e são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto .
Determine as equações paramétricas da curva de nível de (chamada isoterma) que passa pelo ponto .
Passo 1
A curva de nível passa pelo ponto . É uma isoterma porque nela todos os pontos têm a mesma temperatura. Então vamos descobrir essa temperatura calculando !
Portanto a curva de nível é
Ajeitando um pouco:
Passo 2
Agora dá pra ver bem que é uma elipse, com a equação típica
E a equação paramétrica de uma elipse é
No nosso caso temos e .
Como temos que escolher só uma parametrização para a curva, digamos
Assim, podemos fixar
Vamos até verificar que a equação inicial é respeitada:
Tudo ok! Então essa curva de nível é uma elipse de equações paramétricas