Sejam uma função diferenciável e seja o plano tangente ao gráfico de f no ponto e seja uma parametrização para a curva de nível 1 de . Suponha que para algum . Determine uma equação para o plano sabendo que ele contém os pontos e .

Bom, se a curva é curva de nível de f, então ela está contida em f. Então podemos escrever que, para todo ponto e paramtro

Pois o vetor gradiente é perpendicular a superfície forma por f, e representa um vetor tangente a curva , que, por sua vez, está na superfície de f! Então, como o vetor perpendicular à superfície é perpendicular a outro que seja tangente a ela, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é zero, a equação ali de cima sempre vale.

Agora iremos calcular :

Agora utilizando a equação do passo anterior

Da mesma forma que o produto escalar entre vetores perpendiculares vale 0. Temos, para vetores colineares, que um é múltiplo do outro. Então, se rotacionamos em 90º o vetor e depois equacionar ele e o gradiente dizendo que são múltiplos um do outro

Agora que temos esta última equação, podemos encontrar as derivadas parciais em função de e

E agora, jogamos essas derivadas parciais na equaão do plano.

Sendo que sabemos, pelo enunciado que e, sendo , temos que e . Além disso, como o nível da curva é 1, tem altura constante igual a 1, . Colocando essas informações na equação, e as derivadas que encontramos, teremos:

Agora só falta substituir os pontos e resolver o sistema. Tendo os pontos e e colocando esses valores para x,y e z da equação do plano, teremos:

Se fizermos a de baixo menos a de cima, teremos:

Jogando esse valor de na primeira equação, teremos:

Agora que temos os valores podemos substituir na equação e encontrar a equação do plano: