Exercícios Resolvidos de Deformação e a Lei de Hooke

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Enunciado

O parafuso de 8   m m de diâmetro é feito de uma liga de alumínio e está instalado em uma luva de magnésio com diâmetro interno de 12   m m e diâmetro externo de 20   m m . Se os comprimentos originais do parafuso e da luva forem 80   m m e 50   m m , respectivamente, determine as deformações na luva e no parafuso se a porca do parafuso for apertada de tal modo que a tensão no parafuso seja de 8   k N . Considere que o material em A é rígido.

E a l = 70   G P a , E m g = 45   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

Quando as porcas são apertadas, elas comprimem a luva e o material rígido.

Como reação, a luva e o material rígido empurram as porcas de volta, o que gera uma tração no parafuso.

Como essa tração e essa compressão são um par ação-reação, elas tem a mesma intensidade.

Agora...

O enunciado do exercício fala que a “tensão” no parafuso é de 8   k N ...

Sabendo que o parafuso vai ser tracionado nesse sistema parafuso/porca, podemos concluir que 8   k N deve ser na verdade a força de tração no parafuso.

E se o nosso parafuso está sendo tracionado por uma força de 8   k N , isso significa que a nossa luva está sendo comprimida por uma força de 8   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor das deformações ε do parafuso e da luva.

Da Lei de Hooke, temos que:

σ = E ε

Isolando ε , isso fica assim:

ε = σ E

E como σ é a tensão normal média σ = N / A nas peças, então:

ε = N A E

Agora vamos ver...

A tração de 8   k N gera no parafuso uma força interna normal N P = 8   k N e a compressão de 8   k N na luva gera nela uma força interna normal N L = - 8   k N .

As áreas das seções transversais A P e A L podem ser calculadas a partir do diâmetro do parafuso d P = 8   m m e dos diâmetros internos e externo da luva d i n t = 12   m m e d e x t = 20   m m .

E ainda conhecemos os módulos de elasticidade do parafuso E P = E a l = 70   G P a e da luva E Ç = E m g = 45   G P a .

Então podemos usar essa última fórmula para calcular as deformações ε !

Passo 2

Aplicando a fórmula ε = N / A E , que encontramos a partir da Lei de Hooke e da fórmula da tensão normal média, para o parafuso, temos:

ε P = N P A P E P

A área da seção transversal do parafuso, que é circular, pode ser calculada a partir de seu diâmetro através da fórmula π d 2 / 4 , então:

ε P = N P π d P 2 4 E P

ε P = 4 N P π d P 2 E P

Substituindo os valores N P = 8   k N , d P = 8   m m e E P = E a l = 70   G P a :

ε P = 4 8   k N π 8   m m 2 70   G P a

G P a = k N / m m 2 , então todas as unidades dessa equação vão se cortar.

Calculando tudo, encontramos:

ε P = 0,00227

Se quisermos, podemos dar uma unidade para qualquer resultado de deformação ε , como m m / m m ou m / m , mas isso não é necessário.

Passo 3

E agora aplicando a mesma fórmula para a luva:

ε L = N L A L E L

A seção transversal da luva é como um anel, com um diâmetro externo d e x t e um diâmetro interno d i n t .

A sua área A L pode ser calculada como a diferença das áreas dos círculos formados por esses diâmetros. Como a área do círculo em função do diâmetro é π d 2 / 4 , temos:

ε L = N L π d e x t 2 4 - π d i n t 2 4 E L

ε L = 4 N L π d e x t 2 - d i n t 2 E L

Substituindo os valores N L = - 8   k N , d e x t = 20   m m , d i n t = 12   m m e E L = E m g = 45   G P a :

ε P = 4 - 8   k N π 20 2 - 12 2   m m 2 45   G P a

Como G P a = k N / m m 2 , todas as unidades dessa equação vão se cortar.

Calculando tudo, isso dá:

ε P = - 0,000884

Resposta

ε P = 0,00227

ε L = - 0,000884

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