Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Enunciado

Considere uma corda cuja tensão e a densidade linear são dadas por T e σ , respectivamente, e a equação de movimento é representada por

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

  1. Considerando uma onda nesta corda escrita por
  2. y x ,   t = A s e n 2 π λ x - c t

    Obtenha c em termos de σ e T .

  3. Qual é o período da onda? Tem que justificar a definição do período utilizado.

Passo 1

a)

Beleza, aqui a gente vai ter que primeiro reconhecer quem é c naquela fórmula:

Como:

k = 2 π λ

Então:

y r x , t = A s e n k x - c t = A s e n k x - k c t

Comparando com a formula geral das ondas:

y x , t = A s e n k x - ω t

Então:

k c = ω   → c = ω k

Mas pela relação:

k v = ω → v = ω k

Então:

c = v

Ou seja, c é a velocidade da onda.

Passo 2

Agora vamos usar a equação de onda pra resolver o resto da parada:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Então:

v 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Agora, olhando pra cá:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

A gente pode manipular isso e chegar em:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y ∂ 2 ∂ x 2 y = T

σ v 2 = T

v 2 = T σ → v = T σ

Show? Mas lembrando que:

c = v → c = T σ  

Passo 3

b)

Como o comprimento de onda é dado como conhecido, afinal de contas ele aparece na fórmula, temos que:

v = c = λ T

Então:

T = λ c

Resposta

a)

c = T σ

b)

T = λ c

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