Qual das seguintes funções é uma solução para a equação de onda, sendo a e b constantes reais?

  1. y = x 2 - t 2
  2. y = s e n a x 2 s e n b t
  3. y = log ⁡ a x 2 - t 2 - l o g ⁡ ( ( b x - t )
  4. y = exp ⁡ a x s e n b t
  5. y = c o s ⁡ ( a x + t x - t )

Passo 1

Bom galera, pra gente checar se uma equação é solução da equação de onda, basta a gente manipular ela até que ela chegue no formato de uma solução da equação de onda.

Basicamente, vamos precisar lembrar da solução geral da equação de onda que é:

y x , t = f x - v t + g x + v t

Obs: Algumas vezes uma das duas funções pode ser igual a zero, e a solução pode ficar assim:

y x , t = f x - v t

Ou:

y x , t = g ( x + v t )

Passo 2

Vamos checar uma por uma então:

a)

y = x 2 - t 2

y = x + t . x - t

Chegamos a um formato parecido com esse aqui:

y = g x + v t f x - v t

Que não tem o formato de solução.

Passo 3

b)

Essa aqui está toda errada. Tem um coeficiente não linear, isso é, aquele x 2 ali, além de estar multiplicando a outra função . Tá mais ou menos assim:

y = f x 2 g v t

Passo 4

c)

Vamos usar aqueles macetes de logaritmos aqui:

log ⁡ a x 2 - t 2 - l o g ⁡ ( b x - t = log ⁡ a x 2 - t 2 b x - t

log ⁡ a x 2 - t 2 b x - t = log ⁡ a x - t x + t b x - t = log ⁡ a b x + t

Viu? Cortamos o ( x - t ) com o de baixo. Bom, então:

y = log ⁡ a b x + t

E essa ta no formato: y = g x + v t

Então essa é uma solução (:

A resposta correta é:

c)

Mas vamos resolver as outras como forma de exercício.

Passo 5

d)

Essa aqui está toda errada que nem a b).

Perceba uma coisa: Geralmente quando tem uma função de t multiplicando outra função de x , não dá pra manipular. Então essa tá mais ou menos no formato abaixo:

f x g t ]

Passo 6

e)

Aqui, de novo, temos um produto. Só que agora, esse produto ta envolvido por outra função. Não serve, também:

c o s ⁡ ( a x + t x - t )

h g x + v t f x - v t

Resposta

c)

Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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