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Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Exercício 101234567891112131415161718

Enunciado

Dadas as seguintes funções:

y 1 x ;   t =   A exp ⁡ - a a x 2   +   v t

y 2 x ;   t =   A s e n a x - v t

y 3 x ;   t = A s e n a x cos ⁡ a v t

y 4 x ;   t = A a x - v t + 1

Quais representam uma onda?

  1. Apenas   y 1 ( x ;   t )
  2. y 1 ( x ;   t )   e   y 3 ( x ;   t )
  3. y 2 ( x ;   t ) ,   y 3 ( x ;   t )   e   y 4 ( x ;   t )
  4. Apenas   y 2 ( x ;   t )
  5. y 2 ( x ;   t )   e   y 4 ( x ;   t )

Passo 1

Bom pessoal, antes de qualquer coisa, para a gente verificar se a função representa ou não uma onda, temos que saber qual a ‘cara’ de uma função de onda.

A equação de onda, tem um cara do tipo:

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2 = ∂ y 2 x , t ∂ x 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2   = 1 v 2

Calma!!! Parece complicado né!? Mas vamos juntos ver isso melhor, resolvendo cada função dada no enunciado.

Passo 2

A primeira função nos dá que: y 1 x ;   t =   A exp ⁡ - a a x 2   +   v t

Então vamos deriva-la em relação a x e a t , e depois verificar se fica com a carinha da equação listada no passo 1:

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - A 4 a 4 x 2 e ( - a 2 x 2 - a v t ) ;

∂ y 2 x , t ∂ t 2 =   - A a 2 v 2 e - a 2 x 2 - a v t ;

∴

∂ y 2 x , t ∂ x 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2   = 4 a 2 x 2 v 2

Ficou diferente da equação da onda! #chateado

Passo 3

Pra segunda função y 2 x ;   t =   A s e n a x - v t , vamos seguir o mesmo raciocínio do que fizemos no passo 2:

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - A a 2 x 2 s e n ( a x - a v t ) ;

∂ y 2 x , t ∂ t 2 =   - A a 2 v 2 s e n ( a x - a v t ) ;

∴

∂ y 2 x , t ∂ x 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2   = 1 v 2

Opa! A cara dessa função é exatamente igual a de uma função de onda! =)

Passo 4

Analogamente para y 3 x ;   t = A s e n a x cos ⁡ a v t :

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = - A a 2 s e n a x c o s ⁡ ( a v t ) ;

∂ y 2 x , t ∂ t 2 =   - A a 2 v 2 s e n a x c o s ⁡ ( a v t ) ;

∴

∂ y 2 x , t ∂ x 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2   = 1 v 2

Que lindo! Essa também obedece a equação da onda!

Passo 5

Vamos lá, na última função, temos que: y 4 x ;   t = A a x - v t + 1

Portanto,

∂ y 2 x , t ∂ x 2 = 2 A a 2 a x - v t + 1 3

∂ y 2 x , t ∂ t 2 = 2 A a 2 v 2 a x - v t + 1 3

∴

∂ y 2 x , t ∂ x 2 ∂ y 2 x , t ∂ t 2   = 1 v 2

Logo obedece a equação da onda!

Resposta

Letra C

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