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Exercícios Resolvidos de Equação Diferencial da Onda

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Exercício 213456789101112131415161718

Enunciado

Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

Onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta perturbação

  1. Não representa uma onda em propagação
  2. É a superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos
  3. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
  4. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a
  5. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
  6. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = b
  7. É uma onda que se propaga par a direita com velocidade v = a / b
  8. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a / b

Passo 1

Vamos começar arrumando aquele cara lindão ali:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

y x , t = e - x / b 2 + 2 x t / b - t 2 a  

y x , t = e a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2  

Vamos escrever o expoente final de e separado só para vermos melhor:

a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2

a - x 2 b 2 + 2 x t b - t 2

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

Consegue ver que aquele cara dentro é um produto notável?

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

- a x b - t 2

Passo 2

Uma onda precisa ser da forma

y = f x ± v t

Vamos supor inicialmente que a onda vai para a direita, ou seja, que y = f ( x - v t ) .

Se o valor de v der negativo quer dizer que errei o sentido : )

Comparando com a perturbação:

y = e - a x / b - t 2

É meio parecido, mas queremos ali no parênteses x - v t .

Vamos voltar a fazer “matemágica” no expoente:

- a x b - t 2 = - a 1 b x - b t 2 = - a b 2 x - b t 2

Agora temos:

y = e - a b 2 x - b t 2

Se considerarmos z = x - b t , a nossa f z será:

f z = e - a b 2 z 2

Estamos no caso onde:

y = f x - v t

Como temos uma subtração ali, o sentido da onda é para direita e temos:

v = b

Resposta

Letra E

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