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Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Enunciado

Tipler, Mosca; Física Para Cientistas e Engenheiros; 6ª Ed. - Capítulo 3, Seção 1, Questão 110.

(Cap 3 – Ex 110) Uma partícula se move no plano xy com aceleração constante.Em t = 0 , a partícula está em r → 1 = 4,0   m   i ^ + 3,0   m j ^ , com a velocidade v → 1 . Em t = 2,0   s , a partícula está em r → 2 = 10   m   i ^ - 2,0   m j ^ e com a velocidade v → 2 = 5,0   m / s   i ^ - 6,0   m / s j ^ . (a) Encontre v → 1 . (b) Qual a aceleração da partícula? (c) Qual é a velocidade da partícula como função do tempo? (d) Qual é o vetor posição da partícula como função do tempo?

Passo 1

E aí galera, beleza?

Bom... Galera essa questão trata de um movimento uniformemente variado com vetores. Pra resolver questões assim é só ter atenção com os vetores. Vamos lá.

A velocidade média pode ser descrita por:

v → m é d = ∆ r → ∆ t = r → 2 - r → 1 ∆ t

v → m é d = 10   m   i ^ - 2,0   m j ^ - 4,0   m   i ^ + 3,0   m j ^ 2

v → m é d = 10   m   - 4,0   m   i ^ - 3,0   m + 2,0   m   j ^ 2

v → m é d = 3   m / s   i ^ + - 2,5   m / s j ^

A velocidade média também pode ser expressa por:

v → m é d = v → 1 + v → 2 2

Então temos que:

v → 1 = 2 ⋅ v → m é d - v → 2

v → 1 = 2 ⋅ [ 3   m / s   i ^ + - 2,5   m / s j ^ ] - 5,0   m / s   i ^ + 6,0   m / s j

v → 1 = 6   m / s   i ^ + - 5   m / s j ^ - 5,0   m / s   i ^ + 6,0   m / s j

v → 1 = 6   m / s   - 5   m / s     i ^ - 5   m / s + - 6   m / s   j ^

v → 1 = ( 1   m / s )   i ^ + ( 1   m / s )   j ^

Passo 2

Para encontrar a aceleração da partícula temos que:

a → = ∆ v → ∆ t = v → 2 - v → 1 ∆ t

a → = 5   m / s   i ^ - 6   m / s j ^ - 1,0   m / s   i ^ + 1,0   m / s j ^ 2

a → = 5   m / s   - 1,0   m / s   i ^ - 6   m / s + 1,0   m / s   j ^ 2

a → = ( 2   m / s 2 )   i ^ + ( - 3,5   m / s 2 )   j ^

Passo 3

A velocidade da partícula como função do tempo é dada pela equação:

v → t = v → 1 + a → t

v → t = [ ( 1   m / s )   i ^ + ( 1   m / s )   j ^ ] + [ ( 2   m / s 2 )   i ^ + ( - 3,5   m / s 2 )   j ^ ] ⋅ t

Organizando temos que:

v → t = 1   m / s + 2,0   m / s 2 ⋅ t   i ^ + 1   m / s + - 3,5   m / s 2 ⋅ t   j ^

Passo 4

O vetor posição da partícula como função do tempo é dado por:

r → t = r → 1 + v → 1 t + 1 2 a → t 2

r → t = 4,0   m   i ^ + 3,0   m j ^ + 1 m s i ^ + 1 m s j ^ ⋅ t + 1 2 2 m s 2 i ^ + - 3,5 m s 2 j ^ ⋅ t 2

Organizando temos:

r → t = 4,0   m + 1   m / s ⋅ t + 1 2 2,0   m / s 2 ⋅ t 2   i ^ + 3,0   m + 1   m / s ⋅ t + 1 2 - 3,5   m / s 2 ⋅ t 2   j ^

Resposta

a )   v → 1 = ( 1   m / s )   i ^ + ( 1   m / s )   j ^

b )   a → = ( 2   m / s 2 )   i ^ + ( - 3,5   m / s 2 )   j ^

c )   v → t = 1   m / s + 2,0   m / s 2 ⋅ t   i ^ + 1   m / s + - 3,5   m / s 2 ⋅ t   j ^

d )   r → t = 4,0   m + 1   m / s ⋅ t + 1 2 2,0   m / s 2 ⋅ t 2   i ^ + 3,0   m + 1   m / s ⋅ t + 1 2 - 3,5   m / s 2 ⋅ t 2   j ^

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