UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.1.3
Calcule o comprimento da hélice do exercício (f).
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da hélice Pra isso, nós temos um teorema que nos diz que se uma curva é definida por equações paramétricas , , , onde e são contínuas em , e a curva é percorrida exatamente uma vez quando aumenta de até , então o comprimento dessa curva será:
No nosso caso, , , e . Então, vamos derivar as componentes do vetor , elevar ao quadrado e substituir dentro da raiz, para calcular a integral no intervalo dado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando as componentes de , que são , e . Assim, teremos:
Substituindo na raiz:
Elevando ao quadrado:
Como (é uma identidade trigonométrica), teremos:
Passo 3
Então, no intervalo , vamos ter o comprimento da curva dado por:
Colocando a constante do lado de fora da integral e integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉