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Exercícios Resolvidos de Gráfico de Funções Vetoriais

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Exercício 1112345678910121314

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 5

5. Seja F → = ∇ f , onde f x , y , z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 . Desenhe F → x , y , z com x 2 + y 2 + z 2 = 4 ; x > 0 , y > 0 , z > 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada uma função de um campo vetorial e nosso objetivo é esboçar a parte do campo F → que está sob a circunferência x 2 + y 2 + z 2 = 4 com x > 0 , y > 0 e z > 0 ...

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para esboçar um campo vetorial, precisamos entender como os vetores desse campo se comportam no espaço...

Nesse caso, como estamos interessados apenas nos vetores contidos na esfera, podemos aplicar a parametrização por coordenadas esféricas na função F → e ver como o campo se comporta nesse domínio.

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

Mas primeiro de tudo temos que descobrir qual é o campo F → .

Foi dito que F → = ∇ f onde f x , y , z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2

Calculando o gradiente de f , temos

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = ∂ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ x , ∂ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ y , ∂ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

∇ f = x , y , z

Portanto, temos que

F → x , y , z = x i → + y j → + z k →

Aplicando a parametrização por coordenadas esféricas sabendo que ρ = 2 , temos

F → ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ i → + 2 sin ⁡ ϕ s in ⁡ θ j → + 2 cos ⁡ ϕ k →

A partir dessa parametrização, podemos perceber que os vetores do campo apontam para o sentido radial à esfera... ou seja, os vetores de F → são normais à superfície esférica.

Esboçando o campo F → , teremos algo próximo a

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

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