Esboce o gráfico de cada curva abaixo, indicando a orientação positiva.

(f) r(t) = cos(t) + sin(t) + t, 0 ≤ t ≤ 2*pi

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva da equação paramétrica r → t = c o s c o s   t   i → + s i n s i n   t   j → + t k → no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π . Pra isso, nós precisamos lembrar que nas curvas parametrizadas x e y são dadas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), que de forma geral pode ser definida por:

x = f t ,     y = g t ,     a ≤ t ≤ b

Onde a curva tem ponto inicial f a ,   g a e ponto final f b ,   g ( b ) . Então, cada valor de t fornece um ponto ( x ,   y ) na curva, no plano cartesiano. Sendo assim, o que nós vamos fazer é atribuir diferentes valores para t , dentro do intervalo dado, marcar os pontos correspondentes ( x ,   y ) no gráfico e unir esses pontos. No sentido de crescimento do parâmetro t , vamos ter a orientação positiva da nossa curva.

Vamos lá!

Passo 2

Para r → t = c o s c o s   t   i → + s i n s i n   t   j → + t k → , vamos ter:

x = c o s c o s   t  

y = s i n s i n   t  

z = t

Então, nós temos uma curva no espaço tridimensional x y z . Considerando o intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π , podemos definir os pontos:

Marcando esses pontos no gráfico 3 D , vamos ter a hélice:

Como a gente começa marcando o ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) e termina marcando o ponto ( 1 ,   0 ,   2 π ) , essa é a nossa orientação positiva, que é o sentido de crescimento do parâmetro t .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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