Esboce o gráfico de cada curva abaixo, indicando a orientação positiva.

(c) r(t) = (1/t) * i + t * j, 1 ≤ t ≤ ∞.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva da equação paramétrica r → t = ( 1 / t ) i → + t j → no intervalo 1 ≤ t ≤ ∞ . Pra isso, nós precisamos lembrar que nas curvas parametrizadas x e y são dadas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), que de forma geral pode ser definida por:

x = f t ,     y = g t ,     a ≤ t ≤ b

Onde a curva tem ponto inicial f a ,   g a e ponto final f b ,   g ( b ) . Então, cada valor de t fornece um ponto ( x ,   y ) na curva, no plano cartesiano. Sendo assim, o que nós vamos fazer é atribuir diferentes valores para t , dentro do intervalo dado, marcar os pontos correspondentes ( x ,   y ) no gráfico e unir esses pontos. No sentido de crescimento do parâmetro t , vamos ter a orientação positiva da nossa curva.

Vamos lá!

Passo 2

Para r → t = ( 1 / t ) i → + t j → , vamos ter:

x = 1 t

y = t

Considerando o intervalo 1 ≤ t ≤ ∞ , podemos definir os pontos:

Marcando esses pontos no plano x y , vamos ter a curva:

Repare que a medida que t se aproxima de , x vai se aproximando de 0 e y continua crescendo infinitamente. Então, a nossa curva vai se aproximando de uma reta vertical. Como ela começa no ponto ( 1 ,   1 ) e vai pra infinito, nosso sentido positivo é de baixo pra cima, que é o sentido de crescimento do parâmetro t .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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