P4 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2014.1

A questão da era: “Sejam vetores de . Suponha que são vetores linearmente independentes e que . Os vetores são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

Escreva a definição de .

Qual hipótese do enunciado da questão o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese são linearmente dependentes

Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares tais que ”

Considere a função definida por:

(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)

Mostre que é uma transformação linear

Considere a função definida por:

(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)

Escreva a matriz de na base canônica de .

Considere a função definida por:

(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)

Determine uma base para o núcleo de e uma base para a imagem de

Considere a função definida por:

(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)

é diagonalizável? Justifique:

Sejam e dois vetores ortogonais de , ambos com a norma .

Mostre que, se , então .

Seja uma transformação linear. Escreva a matriz de na base usando os produtos internos de e .

é chamada de autoadjunta se, para quaisquer dois vetores , vale:

Mostre que se é autoadjunta, então a matriz de na base é simétrica:

Verifique que é autoadjunta, mas que sua matriz na base não é simétrica.