Sejam e dois vetores ortogonais de , ambos com a norma .

Mostre que, se , então .

Seja uma transformação linear. Escreva a matriz de na base usando os produtos internos de e .

é chamada de autoadjunta se, para quaisquer dois vetores , vale:

Mostre que se é autoadjunta, então a matriz de na base é simétrica:

Verifique que é autoadjunta, mas que sua matriz na base não é simétrica.

Letra

Bom, para escrever a matriz temos que saber a imagem dos vetores da base, mas como ano temos a expressão vamos deixar por .

Agora falta escrevê-los nas coordenadas da base :

Pela letra , já sabemos que . Além disso, podemos aplicar o mesmo princípio para . Basta fazermos as mesmas contas só que aplicando o produto interno dos dois lados com ao invés de .

Agora que já fizemos para , o processo é análogo para :

E assim:

Letra

Observa aí, que na questão anterior nós montamos exatamente a matriz , então vamos prestar atenção nela:

Bom, agora disse que a matriz simétrica é quando , mas isso também implica que a matriz simétrica tem a “cara” de todos os seus elementos iguais em relação diagonal principal lembra? Tipo um espelho. Blz, agora vamos prestar atenção na nossa matriz e nossas hipóteses.

Repara que a nossa hipótese é: Se é autoadjunta.

Relembrando que quando ela é autoadjunta vale:

Bom, então já temos a matriz , ocasionalmente escrito com produtos internos. Bom, então vamos verificar se caso ela for autoadjunta se ela vai ser simétrica mesmo, em outras palavras: Se a propriedade a cima valer, então os elementos fora da diagonal principal vão ser iguais, tipo um espelho.

Vamos pegar o elemento da matriz:

Se ela for autoadjunta, então:

Que é exatamente igual ao elemento da matriz. E portanto ela é simétrica. Se quiser pode verificar que .

Letra

Para verificar que é autoadjunta vamos ver se ela satisfaz a condição:

Então, vamos definir e aplicar a condição:

Lado esquerdo:

Lado direito:

Como achamos a mesma coisa dos dois lados então a do enunciado é de fato autoadjunta.

Agora vamos ver que a matriz dela na base não é simétrica. Para isso, vamos calculá-la e ver no que dá.

Como , então ela não é simétrica.