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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T11 T12

Considere a função D : P 3 ⟶ P 3 definida por:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2

(Observe que D é a transformação que deriva o polinômio)

( c ) Determine uma base para o núcleo de D e uma base para a imagem de D

Passo 1

Letra ( c )

Para o núcleo:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2 = 0 ⇒

b = 0 2 c = 0 ⇒ c = 0 3 d = 0 ⇒ d = 0

Lembrando que dois polinômios são iguais quando, seus coeficientes as iguais.

AGORA TEMOS QUE SUBSTITUIR NUM ELEMENTO GENÉRICO DO DOMÍNIO!

a + b x + c x 2 + d x 3 = a

N u c D = s p a n { 1 }

Base:

α = { 1 }

Passo 2

Para a imagem:

Bom, temos dois jeitos de fazer isso, ou a gente aplica D em cada um dos elementos de uma base do domínio, ou nós “desmembramos” a expressão de D . Vamos usar o segundo jeito.

Organizamos a expressão da nossa D , assim:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b 1 + c 2 x + d 3 x 2

Repare que a imagem, é formada pela C L indicada dos polinômios entre parênteses.

OBS: Os coeficientes que multiplicam os polinômios são livres, ou seja, não tem nenhuma relação entre si.

E assim:

I m D = s p a n { 1 ,   2 x ,   3 x 2 }

Base:

γ = { 1,2 x , 3 x 2 }

Resposta

Base para o núcleo: α = { 1 }

Base para a imagem: γ = { 1,2 x , 3 x 2 }

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