A5 T6
Considere a função definida por:
(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)
é diagonalizável? Justifique:
Passo 1
Letra
Bom, para justificar isso precisamos construir uma matriz em alguma base que represente . Vamos usar a base canônica de :
Sua matriz na base ficará:
Como a matriz não é simétrica, não podemos afirmar nada, então vamos ter que calcular seus autovalores.
Passo 2
Calculando autovalores:
E assim, .
Ahh então só temos um autovalor, podemos parar por aí? NÃOOO, pois podemos ter autovetores associado a esse autovalor e ai eles podem “calhar” de serem , e ai teremos uma base de autovetores e por sua vez, nossa será diagonalizável.
Passo 3
Mas sabemos que os autovetores associados a são exatamente o núcleo da . Verificando o núcleo:
E assim, substituindo num elemento genérico do domínio:
Então, vimos que só temos um autovetor associado ao autovalor , portanto só temos uma autovetor e não conseguimos criar uma base de autovetores para o domínio de , então não é diagonalizável.
Resposta
Não é diagonalizável.