A1 T12
A questão da era: “Sejam vetores de . Suponha que são vetores linearmente independentes e que . Os vetores são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:
Escreva a definição de .
Qual hipótese do enunciado da questão o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese são linearmente dependentes
Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores são linearmente independentes começando por:
“Sejam escalares tais que ”
Passo 1
Letra
Antes de começar qualquer coisa, perceba que o exercício está usando a notação de espaço gerado como e não , mas não se preocupe é a mesma coisa!
Agora vamos a definição de espaço gerado:
Para a definição abaixo basta botar .
Passo 2
Letra
Joãozinho não usou a hipótese de que são vetores linearmente independentes.
Sem essa hipótese poderíamos definir no como:
Usando agora a hipótese de que , podemos definir .
Logo, o nosso conjunto fica:
E como é uma dos demais vetores, então o conjunto é .
Passo 3
Letra
Antes de tudo, vamos separar nossas hipóteses e teses:
Hipótese: são vetores e
Tese: são linearmente independentes
Partindo da tese:
Deste modo estamos escrevendo como dos demais vetores, então . Entretanto, sabemos por hipótese que , logo o único jeito daquela equação ser verdadeira é com :
Agora, fica muito fácil! Lembra que o enunciado disse que : são vetores ? Então agora basta aplicar isso, então podemos dizer que .
E como achamos que , o conjunto é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)