P4 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2015.1

Seja uma transformação linear. Usaremos as notações e para denotar composições de . Suponha que:

1. para todo ,
2. Existe tal que

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem .

Mostre que .

Sejam uma transformação linear, uma base de e uma base de . Suponha que:

Supondo que e que seja a base canônica de , encontre .

Seja uma transformação linear. Usaremos as notações e para denotar composições de . Suponha que:

1. para todo ,
2. Existe tal que

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem .

Mostre que é o único autovalor de

(Dica: comece com um autovetor de .)

Mostre que não é diagonalizável .

(Dica: como seria a matriz de se fosse diagonalizável?)

À questão “No espaço munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de ”, Biazinha escreveu:

Defina “complemento ortogonal de um subespaço vetorial ”

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Calcule corretamente .

Seja a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial acima. Calcule ,onde é a base canônica de .

Seja uma transformação linear. Usaremos as notações e para denotar composições de . Suponha que:

1. para todo ,
2. Existe tal que

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem .

Mostre que o conjunto é linearmente independente.

(Dica: Aplique a uma combinação linear de )

Sejam uma transformação linear, uma base de e uma base de . Suponha que:

Enuncie o teorema do Núcleo-Imagem.

Usando o teorema do Núcleo-Imagem, determine se é injetiva.

Exiba uma base para o núcleo e uma base para a imagem de .

Observe que os geradores serão escritos em função dos vetores das bases e