Sejam T : E ⟶ F uma transformação linear, β = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } uma base de E e γ = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de F . Suponha que:

T γ ← β = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1

( d ) Supondo que E = P 3 ,   F = R 3 ,   β = { 1 - x ,   1 + x ,   x 2 ,   x 3 } e que γ seja a base canônica de R 3 , encontre T ( 2 - π x 3 ) .

Passo 1

Letra ( d )

Como não possuímos a expressão da T e apenas a sua matriz, vamos utilizá-la. Entretanto, antes precisamos escrever o polinômio 2 - π x 3 nas coordenadas da base β indicada:

Podemos perceber que para gerar o polinômio 2 basta fazer 1 ( 1 - x ) + 1 ( 1 + x ) = 2 e que para gerar o polinômio - π x 3 , basta multiplicar o polinômio x 3 da base por – π , e assim as coordenadas ficam:

2 - π x 3 β = 1 1 0 - π

Passo 2

Mas agora como vamos achar T ( 2 - π x 3 ) ??? Basta usar a relação:

T γ ← β ⋅ 2 - π x 3 β = T 2 - π x 3 γ

1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1 ⋅ 1 1 0 - π = 3 3 - π = T 2 - π x 3 γ

Agora basta achar T 2 - π x 3 :

T 2 - π x 3 = 3 1,0 , 0 + 3 0,1 , 0 - π 0,0 , 1 = 3,3 , - π ⇒

T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

Resposta

( d ) T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

Exercícios Resolvidos de Matrizes que Representam TL: Aplicação

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