Sejam uma transformação linear, uma base de e uma base de . Suponha que:

Enuncie o teorema do Núcleo-Imagem.

Usando o teorema do Núcleo-Imagem, determine se é injetiva.

Exiba uma base para o núcleo e uma base para a imagem de .

Observe que os geradores serão escritos em função dos vetores das bases e

Letra

Bom para ser injetiva, seu núcleo deve conter somente o vetor nulo, e portanto sua dimensão deverá ser zero. Assim, vamos estudar os casos:

Podemos perceber que , e que pelo teorema do Núcleo-Imagem percebemos que a dimensão da Imagem de é no máximo a dimensão do contra-domínio (que possui dimensão ). Assim, na melhor da hipóteses:

Logo, podemos perceber que é impossível ela ser injetiva.

Letra

Calculando uma base para o núcleo:

Sendo

Assim, achamos uma relação para as coordenadas dos vetores do núcleo na base . Mas isso ainda não são os vetores do núcleo!! Sabemos que:

Assim, podemos dizer que:

Logo como , uma possível base pro núcleo é:

Calculando uma base para a imagem:

Bom, para calcular uma base para a imagem podemos aplicar a em cada um dos vetores da base do nosso domínio. Entretanto, com não temos a expressão de não podemos fazer isso, mas temos a matriz que representa ela indo da base para a . Então, basta que saibamos as coordenadas dos elementos da base de escritos na base , ou seja:

, , ,

Para :

Para :

Para :

Para :

Agora temos que verificar se o conjunto:

É . Podemos perceber que temos vetores para o nossa base da imagem, quando que a dimensão máxima dela seria , e portanto sabemos que nosso conjunto é

Olhando para os três primeiros vetores, podemos ver alguma relação entre eles:

Repare que apenas, quis cancelar o , pois agora é só “ajeitar”:

Ou seja, podemos descartar o vetor , pois ele pode ser formado por uma dos outros dois vetores. E assim uma possível base é: