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Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Exercício 81234567910111213

Enunciado

A2 T16, A1 T12

Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

( d ) Mostre que o conjunto β = v 0 , T v 0 , T 2 v 0 é linearmente independente.

(Dica: Aplique T a uma combinação linear de β )

Passo 1

Letra ( d )

Para provar vamos tentar verificar que:

a v 0 + b T v 0 + c T 2 v 0 = 0 ⇒

Seguindo a dica e aplicando T dos dois lados, sabendo que T é linear:

a T v 0 + b T 2 v 0 + c T 3 v 0 = 0 ⇒

Mas como sabemos que T 3 v = 0 para todo v ∈ U :

a T v 0 + b T 2 v 0 = 0

Passo 2

Aplicando T de novo:

a T 2 v 0 + b T 3 v 0 = 0

Usando o fato de novo que T 3 v = 0 para todo v ∈ U

a T 2 v 0 = 0 ⇒

Mas como sabemos que existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0 , então:

a = 0

E assim, voltando para a primeira equação, com a = 0 :

b T v 0 + c T 2 v 0 = 0

Agora, vamos repetir o que fizemos, basta aplicar T de novo:

b T 2 v 0 + c T 3 v 0 = 0

Passo 3

-

Usando o fato de novo que T 3 v = 0 para todo v ∈ U

b T 2 v 0 = 0

Mas como sabemos que existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0 , então:

b = 0

Substituindo na primeiro equação com a = b = 0 :

c T 2 v 0 = 0

Mas como sabemos que Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0 , então:

c = 0

E como achamos que a = b = c = 0 , sabemos que os vetores são L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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