A5 T2 T6
Seja uma transformação linear. Usaremos as notações e para denotar composições de . Suponha que:
- para todo ,
- Existe tal que
Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem .
Mostre que é o único autovalor de
(Dica: comece com um autovetor de .)
Mostre que não é diagonalizável .
(Dica: como seria a matriz de se fosse diagonalizável?)
Passo 1
Letra
Vamos supor que tenha um autovetor associado a um autovalor .
Sendo assim:
Mas como para todo :
O que nos leva a pensar que ou ou (lembre-se que é um vetor, mas a ideia é a mesma que usamos para números). Mas como é um autovetor não pode ser nulo e então só nos resta que .
Passo 2
Letra
Usando a dica do enunciado, se a fosse diagonalizável, sua matriz diagonal seria composta de autovalores , pois só existe o autovalor nessa , portanto a sua matriz diagonal seria a matriz nula! Até ai sem problemas, mas vamos lembrar que se é uma base de autovetores:
Lembre-se da relação:
Assim, se pegarmos aquele do enunciado:
O que contradiz a informação do enunciado, o que torna impossível a ser diagonalizável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)