Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

a   Mostre que N u c T ⊂ N u c ( T 2 ) .

Passo 1

Letra ( a )

Vamos considerar um vetor genérico do núcleo de T , u ∈ U .

Então se u ∈ N u c ( T ) , sabemos que:

T u = 0 ⇒ T T u = T 0 ⇒ T 2 u = 0

Logo podemos perceber que os vetores que zeram T são os mesmos que zeram T 2 , então:

N u c T = N u c T 2 = { u }

Passo 2

-

E como uma igualdade é a mesma coisa que:

N u c T ⊂ N u c T 2

N u c T ⊃ N u c T 2

Então, podemos dizer que N u c T ⊂ N u c T 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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