PF de Cálculo 1 da UFRJ - 2014.1

Calcule:

Determine se a seguinte integral imprópria é finita:

Calcule a área da região:

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do semicírculo:

Em torno da reta .

Um rio tem de largura. Deseja-se estender um cabo de comunicação ligando os pontos e , situados em margens opostas. O ponto está a justante (isto é, rio abaixo) do ponto , conforme a figura.

O custo de instalação do cabo é de por metro no leito do rio e de por metro no solo seco. Determine quantos metros de cabo deverão ser instalados no rio e quantos em terra para que o custo total seja mínimo.

Considere a função .

Determine:

os limites de quando tende a e quando tende a ;

os intervalos onde é crescente e aqueles onde é decrescente;

os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissas e ordenadas);

os intervalos onde a concavidade é para cima (função é convexa) e aqueles onde é para baixo (função é côncava);

os pontos de inflexão de .

Esboce o gráfico de , respeitando todos os aspectos do gráfico identificados no item .