G2 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2014.1

Sejam e funções de classe tal que para todo e . Seja o campo vetorial dado por

Suponha que é um campo de forças conservativo. Mostre que o trabalho realizado por ao longo de qualquer arco de circunferência do primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário é nulo.

Seja o campo vetorial dado por

1. Sem calcular funções potenciais, justifique que é um campo conservativo
2. Encontre a família de funções potenciais para .

Mostre que

Para qualquer curva , fechada, simples, lisa (ou regular) por partes, cujo traço não intersecta os eixos e dos e orientada no sentido positivo, e para qualquer função de classe .

Sugestão: Aplique o Teorema de Green. Justifique

Considere o caminho que delimita a região do plano limitada pelas linhas de equação e e percorrido no sentido anti-horário.

1. Usando a definição, calcule a integral de linha

(não precisa resolver a integral)

2. Calcule a integral do item , agora usando o teorema de Green

Sejam tais que . Considere a curva representada parametricamente por ,

b) Assuma . Usando a integral de linha, calcule o comprimento da curva

Sejam tais que . Considere a curva representada parametricamente por ,

d) Considere os campos de vetores e . Assinale abaixo qual o gráfico de e .

Sejam tais que . Considere a curva representada parametricamente por ,

1. Desenhe o traço e o gráfico de . Justifique.

c) Assuma . Determine os vetores velocidade da curva em cada ponto de interseção da curva com os eixos e dos e represente-os graficamente.