Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Ver Teoria
Exercício 391234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Teorema de Green

Mostre que

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = 0

Para qualquer curva C , fechada, simples, lisa (ou regular) por partes, cujo traço não intersecta os eixos x e dos y e orientada no sentido positivo, e para qualquer função f : R → R de classe C 1 .

Sugestão: Aplique o Teorema de Green. Justifique

Passo 1

Vamos reescrever essa função dentro da integral de forma mais bonitinha

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = ∫ C F x , y ∙ d C

Então a função F x , y vai ser

F x , y = f x y x j - y i x 2 = - y x 2 f x y , x x 2 f x y = - y x 2 f x y , 1 x f x y

Vamos aplicar o teorema de Green como ele sugeriu. Repara que essa função F não está definida quando x = 0 ou y = 0 , enquanto quando aplicarmos teorema de Green devemos usar uma região que não corte nenhum dos eixos se não essa função F não vai poder ser usada, no enunciado ele disse que o traço não corta nenhum dos dois eixos, isso nos diz que para uma curva C como ele deu podemos usar o teorema de Green. Então

∫ C F x , y ∙ d C = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Onde a fronteira de D é a curva C .

Temos que achar aquele termo dentro da integral dupla. Vamos começar achando as derivadas

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 1 x f x y + 1 x ∂ ∂ x f x y   = - 1 x 2 f x y + 1 x f ' x y ∙ ∂ ∂ x x y

∂ F 2 ∂ x = - 1 x 2 f x y + 1 x f ' x y ∙ 1 y = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y

A outra derivada fica

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 f x y + - y x 2 ∂ ∂ y f x y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ ∂ ∂ y x y

∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ - x y 2 = - 1 x 2 f x y + y x x 2 y 2 f ' x y

∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ - x y 2 = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y - - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y = 0

Passo 2

-

Vamos ter

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = ∫ C F x , y ∙ d C = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D 0 d A = 0

Logo aquela integral de linha vai ser 0 para uma curva C fechada, simples, lisa (ou regular) por partes, cujo traço não intersecta os eixos x e dos y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 �� ��a ( 2,6 ) a 2,0 a
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x