Campos Conservativos
Sejam e funções de classe tal que para todo e . Seja o campo vetorial dado por
Suponha que é um campo de forças conservativo. Mostre que o trabalho realizado por ao longo de qualquer arco de circunferência do primeiro quadrante, percorrido no sentido anti-horário é nulo.
Passo 1
Primeiro vamos ver o que ele pede, ele quer que calcule o trabalho de , lembra como calculamos o trabalho de uma força vetorial? É só fazer a integral de linha
Beleza, mas temos um campo de forças conservativos, podemos achar essa integral de linha pela função potencial. Vamos achar a função potencial então, vamos chamar essa função dessa vez de isso porque já tem uma função ali, ia confundir o meio campo se não trocássemos o nome da função potencial. Vamos começar com dessa vez porque aquela função não é conhecida.
Vamos ter
Dessa vez vamos derivar o que achamos aqui em cima em vez de integrar
Chegamos em uma equação meio louca
E agora o que fazer? Vamos usar o fato que esse cara é conservativo, ou seja
Passo 2
Para achar
Primeiro vamos achar as derivadas
A outra derivada vai ficar
Dessa forma
Podemos trocar isso na equação que achamos no passo
Passo 3
Vamos arrumar a Equação do passo primeiro
Trocando a equação que achamos no passo na equação que achamos no passo vamos ter
Assim
Ainda nada né? Continua uma zona só, mas repara que só depende de , então podemos colocar qualquer valor em que isso ainda vai valer, como ele deu vamos fazer
Então
que é uma constante, a função potencial vai ficar
Passo 4
Precisamos do ponto inicial e do final dessa curva, repara que ele vai no sentido anti-horário, então ele vai de até , e a integral de linha vai ser
Ele disse no enunciado que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)