Seja F: R² → R² o campo vetorial dado por

F(x, y) = -y^2 * e^(-x) * i + 2y * e^(-x) * j

  1. Sem calcular funções potenciais, justifique que F é um campo conservativo
  2. Encontre a família de funções potenciais para F .

Passo 1

a 1 )

A primeira coisa a perceber é que

F x , y = - y 2 e - x , 2 y e - x

Para termos uma função potencial devemos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos achar essas derivadas das componentes da F x , y

∂ F 2 ∂ x = 2 y ∙ - 1 e - x = - 2 y e - x

∂ F 1 ∂ y = - 2 y e - x

Substituindo na fórmula vamos ter

- 2 y e - x - - 2 y e - x = 0

Como deu 0 vamos ter F sendo uma função potencial

Passo 2

a 2 )

Vamos calcular a função potencial de F , vamos ter

F 1 = ∂ f ∂ x → f = ∫ F 1 d x

f = ∫ - y 2 e - x d x = - y 2 ∫ e - x d x = - y 2 - 1 e - x + A y = y 2 e - x + A y

Temos também que

F 2 = ∂ f ∂ y → f = ∫ F 2 d y

f = ∫ 2 y e - x d y = e - x ∫ 2 y d x = e - x 2 y 2 2 + B x = y 2 e - x + B x

Vamos ter que

y 2 e - x + A y = y 2 e - x + B x

A y = B x

Então a única forma de termos duas funções assim iguais é se ambas forem constantes, isso porque A só depende de y e B só depende de x .

A função potencial vai ficar

f = y 2 e - x + C

Resposta

  1. f = y 2 e - x + C

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮_C F_1(x, y) dx + F_2(x, y) dy São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F1, F2 , onde F1(x, y) = sen(x) + 4xy F_2(x, y) = 2 * x^2 - cos(y
Um escoamento é representado pelo campo de velocidadev = (y^2 + z^2) + xz + 2x^2y^2 + k Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f(x, y, z) = -sen(x) + cos(x), z, y em R^3
Usando o teorema 6.9.3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f(x, y) = x^2 + y, y^2 - x em R²
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f(x, y) = (sen(x), cos(y)) em R^2