Campos conservativos
Seja o campo vetorial dado por
- Sem calcular funções potenciais, justifique que é um campo conservativo
- Encontre a família de funções potenciais para .
Passo 1
A primeira coisa a perceber é que
Para termos uma função potencial devemos ter
Vamos achar essas derivadas das componentes da
Substituindo na fórmula vamos ter
Como deu vamos ter sendo uma função potencial
Passo 2
Vamos calcular a função potencial de , vamos ter
Temos também que
Vamos ter que
Então a única forma de termos duas funções assim iguais é se ambas forem constantes, isso porque só depende de e só depende de .
A função potencial vai ficar
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen x + cos x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen x , cos y , em R 2