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Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

a) Mostre que x = 0 é um ponto singular-regular para a equação

x 2 y ' ' + 2 x + 3 x 2 y ' - 2 y = 0

b) Encontre uma solução por série da equação na forma

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r ,     x > 0

Com r sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

Passo 1

  a )

De acordo com a nossa teoria, um ponto x 0 é singular quando P x 0 = 0 . Então vamos primeiro encontrar quem é esse tal de P x !

A equação geral de uma EDO Linear e homogênea é essa daqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Comparando com a nossa equação

x 2 y ' ' + 2 x + 3 x 2 y ' - 2 y = 0       →             P x = x 2 Q x = 2 x + 3 x 2 R x = - 2

Poxa! Perceba que em x = 0 , é o único que zera a função P x , logo ele é o único singular!

Passo 2

Agora, vejamos se ele é regular ou não!

Pra ele ser regular esses dois limites aqui devem existir e serem finitos:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x                             e               lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Substituindo e calculando o primeiro limite...

lim x → 0 ⁡ x 2 x + 3 x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 x + 3 x 2 x =

lim x → 0 ⁡ 2 + 3 x = 2

Calculando o segundo...

lim x → 0 ⁡ x 2 - 2 x 2 = - 2

Como ambas as respostas existem e são finitas, concluímos que x 0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 3

b )

A equação indicial é dada por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

p 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x = 2

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x = - 2

Assim, obtemos:

r 2 - r + 2 r - 2 = 0

r 2 + r - 2 = 0

E as soluções:

r = - 1 ± 1 + 8 2

r = - 1 ± 3 2             →                 r 1 = 1 r 2 = - 2

Passo 4

Como queremos uma solução por série nesse formato:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r ,     x > 0

Como temos dois R s , então ao substituir teremos basicamente a soma de duas respostas que são fundamentais...

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ b n x n - 2

Como o problema pede apenas uma solução, vamos tentar encontrar essa daqui:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1

Vamos nessa então buscar quem são os termos a n !

Passo 5

Primeiramente, devemos derivar a solução para substituir na equação.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n x n

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n a n x n - 1

Substituindo na equação...

x 2 y ' ' + 2 x + 3 x 2 y ' - 2 y = 0

x 2 ∑ n = 0 ∞ n + 1 n a n x n - 1 + ( 2 x + 3 x 2 ) ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n x n - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

∑ n = 0 ∞ n + 1 n a n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 a n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 a n x n + 2 - ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 1 = 0

Vamos manipular a nossa equação para podermos colocar tudo dentro de um único somatório!

Passo 6

Vamos primeiro colocar todos os caras com a mesma potência x n + 1 . Para isso, basta manipularmos essa terceira série:

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 a n x n + 2

Fazendo uma mudança de variável chamando

n = m - 1

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 a n x n + 2 = ∑ m = 1 ∞ 3 m a m - 1 x m + 1

Como m é só um nome, podemos voltar para n :

∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 a n x n + 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n a n - 1 x n + 1

Passo 7

Agora vamos todos começar do mesmo lugar! No caso, n = 1 !

Com relação à primeira série:

∑ n = 0 ∞ n + 1 n a n x n + 1 = 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n x n + 1  

A segunda agora:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 a n x n + 1 = 2 a 0 x + ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 a n x n + 1

E agora a última:

∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 1 = 2 a 0 x + ∑ n = 1 ∞ 2 a n x n + 1

Assim a nossa equação será

∑ n = 1 ∞ n + 1 n a n x n + 1 + 2 a 0 x + ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 a n x n + 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 n a n - 1 x n + 1 - 2 a 0 x - ∑ n = 1 ∞ 2 a n x n + 1 = 0           →

Cortando 2 a 0 x e colocando tudo na mesma série considerando x n + 1 em evidência...

∑ n = 1 ∞ [ n + 1 n a n + 2 n + 1 a n + 3 n a n - 1 - 2 a n ] x n + 1

Passo 8

Como temos uma identidade polinomial temos

n + 1 n a n + 2 n + 1 a n + 3 n a n - 1 - 2 a n = 0

a n n 2 + 3 n = - 3 n a n - 1

a n = - 3 n + 3 a n - 1

Analisando os coeficientes temos

a 1 = - 3 a 0 4  

a 2 = - 3 5 a 1 = 3 2 5.4 a 0

a 3 = - 3 6 a 2 = - 3 3 6.5 . 4 a 0

Logo podemos concluir que.

a n = - 1 n 3 n 6 ( n + 3 ) ! a 0

Assim a nossa solução será.

y x = a 0 x + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n 6 ( n + 3 ) ! a 0 x n + 1

Resposta

a) É ponto singular regular por definição.

b)

y x = a 0 x + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n 6 ( n + 3 ) ! a 0 x n + 1

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