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Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

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Enunciado

Encontre o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 2 5 3 n x + 3 n

Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Temos primeiro que achar o raio de convergência da nossa série de potências, R . Lembrando que.

c n = - 1 n n + 2 5 3 n

c n + 1 = - 1 n + 1 n + 3 5 3 n + 1  

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L ,     R = 1 / L

Passo 2

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 3 5 3 n + 1 . 3 n - 1 n n + 2 5 = lim n → ∞ ⁡ n + 3 5 3 n + 2 5

Podemos retirar o n das potencias e teremos.

lim n → ∞ ⁡ n 5 1 + 3 n 5 3 n 5 1 + 2 n 5 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n 5 3 1 + 2 n 5 = 1 3 ⁡

Logo o raio de convergência será

R = 1 1 3 = 3

Disso já podemos afirmar que o intervalo de convergência é.

( - 6,0 )

Agora devemos analisar os extremos

Passo 3

Analisando o extremo x = - 6

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 2 5 3 n - 6 + 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 2 5 3 n - 1 n . 3 n = ∑ n = 1 ∞ n + 2 5  

Não precisamos nem pensar muito pra perceber que essa série diverge, mas vamos calcular o teste da divergência mesmo assim só pra confirmar.

lim n → ∞ ⁡ c n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 5 = ∞

Então a série realmente diverge para x = - 6 .

Passo 4

Analisando o extremo x = 0

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 2 5 3 n 0 + 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 2 5

Essa também é a mesma situação, mas vamos utilizar o critério de Leibniz pra mostrar que ela diverge. Para uma função convergir ela deve:

  c n + 1 ≤ c n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ c n = 0                                            

Só a parte do limite ser igual a 0 já descarta as chances dessa função convergir, logo ela diverge.

Resposta

( - 6,0 )  

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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