1. Mostre que é um ponto ordinário para a equação
2. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
3. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
4. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que e

b)

Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

Assim, vamos colocar todos os e coeficientes para dentro dos somatórios.

E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório.

Logo:

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:

Assim, fica:

E podemos juntar os somatórios:

Mas como , teremos:

A primeira equação nós usaremos depois, pra achar uma relação entre os pares e ímpares.

Da segunda equação obtemos a relação de recorrência:

Esta fórmula é válida para , onde e são constantes do problema.

c)

Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em e outra em .

Assim, teremos:

Desta forma, quando varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Show, vamos achar e agora!

Para (), podemos reescrever o termo genérico como :

Aconteceu uma parada legal ai né? Vamos escrever para isso ficar mais claro.

O numerador vai sempre cortando com o denominador de até chegar em , onde o denominador será 2. Dessa forma.

E, portanto,

Para () temos a mesma ideia, mas agora faremos isso até chegar em

E, portanto,

d)

Vamos utilizar as condições iniciais agora para encontrar e . Nossa solução é

Calculando

Usando as condições iniciais

Logo a solução será