- Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores onde
- Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
Passo 1
a)
Inicialmente, vamos observar que temos um sistema linear homogêneo de e.d.o.’s com coeficientes constantes. Por isso, podemos escrevê-lo na seguinte forma matricial:
Onde é um vetor de duas coordenadas , é sua derivada e, claro, .
Passo 2
Para achar os autovalores, basta fazermos :
Então temos uma raiz dupla e igual a 0.
Passo 3
Vamos, agora, obter os autovetores. Para obter o primeiro devemos resolver a seguinte equação.
Como .
Chamando
Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é e :
Para encontrarmos o segundo autovetor devemos resolver a seguinte equação.
Como e chamando
Temos outro par de equações redundantes. Uma possível solução é e
Passo 4
A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Desta forma, teremos:
Passo 5
E, combinando as respostas:
Passo 6
b)
Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.
Estamos procurando a função tal que.
Lembrando que.
Passo 7
Lembrando da formula para m=calcular a inversa de uma matriz quadrada.
Calculando
Passo 8
Calculando
Integrando cada elemento dessa matriz.
Ficou feio mas é isso ai mesmo.
Passo 9
Calculando
Resposta
a)
b)