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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Encontre uma representação em série de potências em torno de x = 0 da função

f x = x 3 1 + x 2 2

E determine o intervalo de convergência.

Sugestão:

d d x 1 1 + x 2

Passo 1

A ideia dessas questões é sempre manipular aquelas série manjadas que nos conhecemos. Nesse caso a gente vai brincar com a série geométrica. Lembremos que.

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n  

Vamos agora usar isso e a dica que ele deu para encontrar a série de potencias.

Passo 2

Substituindo x por - x 2

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Agora vamos derivar essa equação.

d 1 1 + x 2 d x = d ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n d x

- 2 x 1 + x 2 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1

Agora só vamos ter que manipular essa equação. Vamos começar multiplicando por x 2 .

- 2 x 3 1 + x 2 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n + 1

x 3 1 + x 2 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x 2 n + 1

Com isso podemos chegar no que procuramos.

f x = x 3 1 + x 2 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x 2 n + 1

Passo 3

Agora falta o raio de convergência dessa série! Para isso vamos fazer o teste da razão, calculando:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde:

a n = - 1 n + 1 n x 2 n + 1

Assim

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ - 1 n + 1 + 1 n + 1 x 2 n + 1 + 1 - 1 n + 1 n x 2 n + 1 = l i m n → ∞ - 1 1 n + 1 x 2 n + 3 n x 2 n + 1

Como estamos lidando com módulo, podemos sumir com esse - 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ n + 1 x 2 n + 3 n x 2 n + 1 = l i m n → ∞ n + 1 x 2 n

Pra calcular esse limite podemos puxar um n pra fora no numerador

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ n 1 + 1 / n x 2 n = l i m n → ∞ 1 + 1 / n x 2 1 = 1 + 0 x 2 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x 2

Para que a série convirja é necessário que esse limite seja menor que 1 , ou seja

x 2 < 1 → - 1 < x < 1

Show! Agora temos que olhar os extremos e ver como se comporta a função!

Passo 4

- Para x = 1 , a série fica

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 1 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n = - ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Fazendo o teste da divergência vemos que o termo a n dessa série não tende a 0 .

Logo a série diverge para x = 1

- Para x = - 1 , a série fica

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n - 1 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n + 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Essa série é igual a anterior, só que com um menos na frente! Ela diverge também pelo teste da divergência!

Logo a nossa série também vai divergir para x = - 1 .

Assim o nosso intervalo de convergência fica aberto mesmo

- 1 < x < 1

Resposta

f x = x 3 1 + x 2 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x 2 n + 1

Intervalo de convergência

- 1 < x < 1

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