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Exercícios Resolvidos de Introdução às Séries

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Exercício 61234578910111213141516171819202122232425262728293031

Enunciado

Calcule a soma da série

∑ k = 1 ∞ 1 k + 1 - 1 k + 2

Passo 1

Antes de mais nada, vamos analisar alguns termos dessa série.

a n = 1 k + 1 - 1 k + 2

a 1 = 1 2 - 1 3

a 2 = 1 3 - 1 4

a 3 = 1 4 - 1 5

Conseguiram perceber que tem um padrão ai? Se somarmos esses 3 termos olha o que acontece.

a 1 + a 2 + a 3 = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 = 1 2 - 1 5

A ideia agora é expandir isso para a nossa série toda.

Passo 2

Vamos calcular S n e depois calcular o limite quando esse n tender ao infinito.

S n = ∑ k = 1 n 1 k + 1 - 1 k + 2

S n = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 n - 1 n + 1 + 1 n + 1 - 1 n + 2

S n = 1 2 - 1 n + 2

Calculando o limite.

S = lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 2

Beleza, então vamos calcular esse limite. Repare que:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2

lim n → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 = 0

Então:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 2 = 1 2

Portanto, a soma que nós estamos procurando é igual a 1 / 2 quando n → ∞ .

Resposta

∑ k = 1 n 1 k + 1 - 1 k + 2 = 1 2

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