P3 de Cálculo 3 da UNICAMP - 2011.2 - Noturno

Calcule o limite da sequência

Encontre o intervalo de convergência da série

Usando a definição de limite, mostre que

Mostre que é um ponto singular regular da equação de Bessel

( é uma constante não negativa.)

No caso (equação de Bessel de ordem 1), usando a teoria, dê a forma de duas soluções linearmente independentes no intervalo . (Não precisa calcular.)

Só também usando a teoria (sem fazer cálculos) ou o item b), justifique que a equação de Bessel de ordem 1 () tem uma solução dada por uma série de potências e convergente em toda a reta (com raio de convergência infinito).

Encontre a série de Fourier em senos da função no intervalo ;

Esboce o gráfico da extensão de para a qual tal série converge.

Defina ponto ordinário e justifique que é um ponto ordinário para a equação

Determine a fórmula de recorrência da solução em série de potências da equação em torno de ;

Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação ;

Encontre a solução geral por série de potências da equação .

Mostre que o método de separação de variáveis se aplica para a equação

substituindo-a por um par de EDOs no caso de soluções de variáveis separadas.

Considere a equação da onda

com as condições de contorno

( nula em e a derivada nula em , para todo tempo ).

Tomando

mostre que deve satisfazer o problema de autovalores (autofunções)

Resolva o problema de autovalores e autofunções

(Encontre todos os autovalores e autofunções associadas.)