Séries de potências
Encontre o intervalo de convergência da série
Passo 1
Para encontrar o intervalo de convergência da série, vamos fazer assim:
Passo 2
Substituindo,
Passo 3
Daí, fazemos assim: chamamos de o coeficiente
De modo que o Teste da Razão nos fornece:
Passo 4
Portanto, o raio de convergência é dado por
Assim, o intervalo de convergência é entre os pontos . Lembrando lá de cima do que , teremos:
Passo 5
O último passo é verificar a convergência da série nos extremos:
Para :
Esta é uma série alternada com termo geral tendendo a zero. É, pois, convergente.
Passo 6
Para :
Pelo teste da Integral, , então a série diverge.
Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é .
Resposta
.
Exercícios de Livros Relacionados
Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln n