Solução de EDO – ponto singular
Mostre que é um ponto singular regular da equação de Bessel
( é uma constante não negativa.)
No caso (equação de Bessel de ordem 1), usando a teoria, dê a forma de duas soluções linearmente independentes no intervalo . (Não precisa calcular.)
Só também usando a teoria (sem fazer cálculos) ou o item b), justifique que a equação de Bessel de ordem 1 () tem uma solução dada por uma série de potências e convergente em toda a reta (com raio de convergência infinito).
Passo 1
Como a equação diferencial está na forma
identificamos: .
Assim, os pontos singulares são dados por . Logo: .
Passo 2
Agora olhamos para
E vemos que ambas as funções são analíticas para todo . Logo, os limites quando existem e são finitos:
Portanto, é um ponto singular regular.
Passo 3
No caso em que :
Assim, a equação indicial (para a equação de Bessel de ordem 1) é dada por
Passo 4
Então, como a diferença entre as duas raízes é (um número natural) e é um ponto singular regular, o Teorema de Frobenius indica que a equação de Bessel de ordem 1 tem duas soluções , no intervalo :
Passo 5
Como vimos que e são analíticas para todo , o raio de convergência de ambos é infinito. Assim, pelo menos a solução da equação também terá raio de convergência infinito; isto é, valerá para todo .
Resposta
é um ponto singular regular.
;
para .