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Exercícios Resolvidos de Introdução às Sequências

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Enunciado

Sequências

Usando a definição de limite, mostre que

lim n → ∞ ⁡ 4 n + 2 n - 1 = 4  

Passo 1

A definição de limite lim n → n 0 ⁡ a n = L diz que: ao tomarmos um valor n tal que n - n 0 < δ ( δ pequeno, isto é, n muito próximo de n 0 ), teremos um a n - L < ϵ ( ϵ também muito pequeno).

A ideia é que podemos fazer δ e ϵ tão pequenos quanto queiramos, de modo que a n tende L .

Passo 2

Seja então esse ϵ > 0 , queremos chegar a L = 4 :

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ ⇔ 4 - ϵ < 4 n + 2 n - 1 < 4 + ϵ

Que podemos reescrever assim:

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ ⇔ ( 4 - ϵ ) ( n - 1 ) < 4 n + 2 < ( 4 + ϵ ) ( n - 1 )

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ ⇔ 4 n - 4 - ϵ n - 1 < 4 n + 2 < 4 n - 4 + ϵ ( n - 1 )

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ ⇔ 4 n - 4 - ϵ n - 1 - 4 n + 2 < 0 < 4 n - 4 + ϵ n - 1 - ( 4 n + 2 )

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ ⇔ - 6 - ϵ n - 1 < 0 < - 6 + ϵ n - 1

Passo 3

Da última inequação, tiramos que

6 < ϵ n - 1 ⇔ n > 1 + 6 / ϵ

Logo, tomando n 0 ∈ N tal que   n 0 > 1 + 6 / ϵ , temos que

4 n + 2 n - 1 - 4 < ϵ

para todo n ≥ n 0 .

Como o número ϵ é arbitrário, segue da definição de limite que

lim n → ∞ ⁡ 4 n + 2 n - 1 = 4

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 4 n + 2 n - 1 = 4

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