Equação de onda
Mostre que o método de separação de variáveis se aplica para a equação
substituindo-a por um par de EDOs no caso de soluções de variáveis separadas.
Considere a equação da onda
com as condições de contorno
( nula em e a derivada nula em , para todo tempo ).
Tomando
mostre que deve satisfazer o problema de autovalores (autofunções)
Resolva o problema de autovalores e autofunções
(Encontre todos os autovalores e autofunções associadas.)
Passo 1
Vamos pensar um pouquinho no que a questão propõe: queremos usar separação de variáveis. Então, escrevemos
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
Passo 2
Simplificando:
E isso origina duas equações:
Logo, a EDP se tornou um sistema de duas EDOs nas variáveis e .
Passo 3
Vamos considerar a equação de onda e aplicar a mesma técnica de separação de variáveis.
Assim, a equação se torna:
E isso origina duas equações:
Passo 4
Agora, vamos olhar para as condições iniciais e de contorno:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não seria a solução não-trivial que buscamos. Logo, .
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Assim, nosso problema se restringe a
Passo 5
Vamos olhar para a variável . Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
E a solução geral é da forma
Passo 6
Aplicando as condições que temos:
Além disso,
Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra
Passo 7
Como queremos , basta fazer , de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!
Portanto, ficamos com
que são as nossas autofunções!
Resposta
Autovalores: ; Autofunções: .