Defina ponto ordinário e justifique que é um ponto ordinário para a equação

Determine a fórmula de recorrência da solução em série de potências da equação em torno de ;

Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação ;

Encontre a solução geral por série de potências da equação .

Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:

Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:

Assim, vamos colocar o que sobrou para dentro do somatório.

E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório...

Logo:

Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:

Assim, fica:

E podemos juntar os somatórios:

Mas como , teremos

Para obter a relação de recorrência, temos:

Esta relação é válida para

Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em e outra em .

Assim, teremos:

Desta forma, quando varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?

Vamos achar os coeficientes e agora, lembrando que e são constantes do problema.

Para (), temos:

Mas podemos reescrever como

Portanto,

Agora, para (), temos:

Mas podemos reescrever

Logo:

Portanto,

A solução geral, então, é dada por