Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

Passo 1

A superfície ( S ) que você descreveu é uma parte do parabolóide hiperbólico ( z   =   y 2 –   x 2 ) que está limitada entre os cilindros ( x 2 +   y 2 =   1 )   e   ( x 2 +   y 2 =   4 ) .

Vamos calcular uma representação paramétrica para essa superfície e, em seguida, calcular sua área.

Uma representação paramétrica é dada por:

r u , v = x u , v , y u , v , z u , v

Nesse caso, podemos escolher ( u )   e   ( v ) como coordenadas paramétricas e definir as funções x u , v , y u , v , z u , v de acordo com a equação do parabolóide hiperbólico ( z   =   y 2 –   x 2 ) e as restrições impostas pelos cilindros ( x 2 +   y 2 =   1 )   e   ( x 2 +   y 2 =   4 )

Uma escolha razoável para os parâmetros é usar coordenadas polares ( u   = θ )   â n g u l o   p o l a r e ( v   =   r )   r a i o   p o l a r , onde r é a distância ao eixo z .

Passo 2

Assim, temos:

[   x u ,   v =   r c o s θ ]

[   y u ,   v =   r s i n θ ]

[   z u ,   v =   r 2 c o s 2 θ ]

As restrições ( x 2 +   y 2 =   1 )   e   ( x 2 +   y 2 =   4 ) nos dizem que 1 ≤   r ≤   2 , uma vez que a superfície está limitada entre esses dois cilindros.

Passo 3

Além disso, o ângulo polar 0 ≤ θ ≤   2 π .

Agora, podemos calcular a área da superfície usando a fórmula da área de superfície paramétrica:

[   A   =   ∬ S | r u × r v | d u d v   ]

Onde r u e   r v são os vetores tangentes parciais em relação a u   e   v respectivamente, e × denota o produto vetorial.

Os vetores tangentes parciais são dados por:

r u = ∂ r ∂ u - r sin ⁡ ( θ ) , r cos ⁡ θ , 0

r v = ∂ r ∂ v cos ⁡ θ , sin ⁡ ( θ ) , 2 r cos ⁡ ( 2 θ )  

O produto vetorial r u ×   r v resulta em um vetor cuja magnitude é:

r u ×   r v = r 1 + 4 r 2

Passo 4

Portanto, a área ( A ) da superfície S é dada por:

  A   =   ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 1   +   4 r 2 d r d θ

Resolvendo

A = ∫ 0 2 π 17 17 - 5 5 12 d θ

A = 17 17 π - 5 5 π 6

A = π 6 17 17 - 5 5

Resposta

A = π 6 17 17 - 5 5

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