USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 1d
Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
- S é a parte da esfera interior ao cone ;
- S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
- S é a parte do plano que é interior ao cilindro
- S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
- S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
- S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
- S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
- S é a parte da esfera com ;
- S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;
Passo 1
A superfície que você descreveu é uma parte do parabolóide hiperbólico que está limitada entre os cilindros
Vamos calcular uma representação paramétrica para essa superfície e, em seguida, calcular sua área.
Uma representação paramétrica é dada por:
Nesse caso, podemos escolher como coordenadas paramétricas e definir as funções de acordo com a equação do parabolóide hiperbólico e as restrições impostas pelos cilindros
Uma escolha razoável para os parâmetros é usar coordenadas polares e , onde é a distância ao eixo .
Passo 2
Assim, temos:
As restrições nos dizem que , uma vez que a superfície está limitada entre esses dois cilindros.
Passo 3
Além disso, o ângulo polar
Agora, podemos calcular a área da superfície usando a fórmula da área de superfície paramétrica:
Onde são os vetores tangentes parciais em relação a respectivamente, e denota o produto vetorial.
Os vetores tangentes parciais são dados por:
O produto vetorial resulta em um vetor cuja magnitude é:
Passo 4
Portanto, a área da superfície é dada por:
Resolvendo