USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 1b
Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
- S é a parte da esfera interior ao cone ;
- S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
- S é a parte do plano que é interior ao cilindro
- S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
- S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
- S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
- S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
- S é a parte da esfera com ;
- S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;
Passo 1
Bora para mais uma?
A superfície descrita é uma parte do cilindro compreendida entre os planos
Vamos encontrar a representação paramétrica dessa superfície e calcular a sua área.
Uma representação paramétrica geral para um cilindro é dada por:
onde é o raio do cilindro e é o ângulo no plano
No caso específico do cilindro
Passo 2
Agora, para restringir a superfície ao intervalo , podemos definir como uma variável paramétrica:
Substituindo essas informações na representação paramétrica geral do cilindro, temos:
Agora, para calcular a área da superfície podemos utilizar a fórmula da integral de superfície:
onde são os vetores tangentes às direções dos parâmetros é a região no plano correspondente à projeção da superfície
Passo 3
No nosso caso, então:
O produto vetorial é dado por:
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Assim, a integral de superfície se reduz a:
Passo 4
A região no plano corresponde a um setor circular de variando de variando de .
Portanto:
Portanto, a área da superfície é unidades quadradas.
Resposta
Portanto, a área da superfície é unidades quadradas.