Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

Passo 1

Bora para mais uma?

A superfície ( S ) descrita é uma parte do cilindro ( x 2 +   z 2 =   1 ) compreendida entre os planos ( y   =   - 1 )   e   ( y   =   3 )

Vamos encontrar a representação paramétrica dessa superfície e calcular a sua área.

Uma representação paramétrica geral para um cilindro é dada por:

x   =   r   ⋅ c o s θ ,     y   =   y ,     z   =   r   ⋅ s i n θ

onde ( r ) é o raio do cilindro e ( θ ) é o ângulo no plano ( x y )

No caso específico do cilindro ( x 2 +   z 2 =   1 ) ,   ( r   =   1 )

Passo 2

Agora, para restringir a superfície ao intervalo ( y   =   - 1 )   a   ( y   =   3 ) , podemos definir ( y ) como uma variável paramétrica:

[ y   =   y ]

Substituindo essas informações na representação paramétrica geral do cilindro, temos:

x   =   c o s θ ,     y   =   y ,     z   =   s i n θ

Agora, para calcular a área da superfície ( S ) , podemos utilizar a fórmula da integral de superfície:

A   =   ∬ S d S =   ∬ D \ r u × r v d u d v

onde r u   e   r v são os vetores tangentes às direções dos parâmetros u ,   v   e   D é a região no plano u v correspondente à projeção da superfície S

Passo 3

No nosso caso, ( u   = θ )   e   ( v   =   y ) , então:

r u = - sin ⁡ ( θ ) 0 cos ⁡ ( θ ) ,     r v = 0 1 0

O produto vetorial r u × r v é dado por:

r u × r v = cos ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ )

Agora, calculamos o módulo desse vetor:

r u × r v = cos 2 ⁡ ( θ ) + sin 2 ⁡ ( θ ) = 1

Assim, a integral de superfície se reduz a:

A   =   ∬ D d u d v

Passo 4

A região D no plano u v corresponde a um setor circular de θ variando de 0   a   2 π variando de - 1   a   3 .

Portanto:

A   =   ∫ 0 2 π ∫ - 1 3 d y d θ =   ∫ 0 2 π 4   d θ =   8 π

Portanto, a área da superfície S é 8   π unidades quadradas.

Resposta

Portanto, a área da superfície S é 8   π unidades quadradas.

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