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Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 1f

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

  1. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 interior ao cone z ≥ x 2 + y 2 ;
  2. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 compreendida entre os planos y = - 1   e   y = 3 ;
  3. S é a parte do plano z = 2 x + 3 y que é interior ao cilindro x 2 + y 2 = 16 ;
  4. S é a parte parabolóide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1   e   x 2 + y 2 = 4 ;
  5. S é a parte do cilindro x 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde a > 0 ;
  6. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está no interior do cilindro x 2 + y 2 = a x , onde a > 0 ;
  7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano x z com centro ( b , 0,0 ) e raio a < b em torno do eixo z ;
  8. S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   com z ≥ x 2 + y 2 3 ;
  9. S é a parte do parabolóide z = 1 - 2 x 2 - y 2 limitada pela superfície 16 x 2 + 4 y 2 = 1 ;

Passo 1

Para parametrizar a superfície S ,   precisamos encontrar uma função contínua e diferenciável que mapeie um conjunto D no plano x y para a superfície S no espaço tridimensional.

A superfície S é a parte da esfera ( x 2 +   y 2 +   z 2 =   a 2 ) que está no interior do cilindro ( x 2 +   y 2 =   a x ) ,   o n d e   ( a   >   0 ) .

Vamos proceder passo a passo:

Encontrando a parametrização:

Primeiro, observamos que a superfície S é definida em termos das coordenadas x ,   y   e   z .

Para parametrizá-la, podemos usar coordenadas polares para x   e   y o que é apropriado devido à presença do cilindro ( x 2 +   y 2 =   a x )

Passo 2

Vamos usar r   como a coordenada radial no plano x y   e θ como o ângulo polar.

Lembre-se de que a equação do cilindro é ( x 2 +   y 2 =   a x ) , então podemos escrever r   em termos de θ como ( r   =   a   c o s   θ ) .

Agora, vamos expressar as coordenadas x ,   y   e   z   em termos de r e θ , considerando a equação da esfera \ x 2 +   y 2 +   z 2 =   a 2 \ :

x   =   r   c o s θ   =   a   c o s 2   θ

y = r sin ⁡ θ =   a cos ⁡ θ sin ⁡ θ

z   =   a 2 -   x 2 -   y 2 =   a 2 -   a 2 c o s 2 θ -   a 2 c o s 2 θ s i n 2 θ =   a   s i n   θ 1   -   c o s 2 θ ]

Passo 3

Agora temos as coordenadas x ,   y   e   z em termos de r   e   θ o que nos permite parametrizar a superfície S como uma função de θ e   r

r θ , r = a cos 2 ⁡ θ ,   a cos ⁡ θ sin ⁡ θ , a sin ⁡ θ 1 - cos 2 ⁡ θ

2. **Calculando a área:**

A área da superfície   S pode ser calculada usando a integral dupla da norma do vetor tangente na parametrização r ( θ ,   r )

A fórmula da área para uma superfície parametrizada é dada por:

A   =   ∬ D | |   T | | ,   d A

Onde R é o vetor tangente e d A é um elemento de área no plano x y   (domínio D .

Passo 4

A norma do vetor tangente é dada por:

T = ∂ r ∂ θ 2 + ∂ r ∂ r 2

Calculamos as derivadas parciais e sua norma:

∂ r ∂ θ = - 2 a   c o s   θ s i n   θ ,   a c o s 2 θ -   s i n 2 θ ,   a   1   -   c o s 2 θ

∂ r ∂ r =   c o s 2 θ ,   c o s   θ s i n   θ ,   s i n   θ 1   -   c o s 2 θ

T =   - 2 a   c o s   θ s i n   θ 2 +   a c o s 2 θ -   s i n 2 θ 2 +   a   1   -   c o s 2 θ 2

T   =   4 a 2 c o s 2 θ s i n 2 θ +   a 2 c o s 2 θ -   s i n 2 θ 2 +   a 2 1   -   c o s 2 θ

T   =   a 2 4   c o s 2 θ s i n 2 θ +   c o s 4 θ +   s i n 4 θ +   1   -   c o s 2 θ

T   =   a 2 2   c o s 2 θ s i n 2 θ +   c o s 4 θ +   s i n 4 θ +   1

Agora, integramos essa expressão sobre o domínio D no plano x y , onde 0 ≤ θ ��   2 π e 0 ≤   r ≤   a c o s   θ :

A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 a   \ c o s   θ a 2 2   c o s 2 θ s i n 2 θ +   c o s 4 θ +   s i n 4 θ +   1 d r d θ

Resolvendo a integral, chegamos em

A = 2 a 2 ( π - 2 )

Resposta

A = 2 a 2 ( π - 2 )

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