USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 3 - 2022.1, Questão 1a
Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:
- S é a parte da esfera interior ao cone ;
- S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
- S é a parte do plano que é interior ao cilindro
- S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
- S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
- S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
- S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
- S é a parte da esfera com ;
- S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;
Passo 1
O foferas, bora resolver essas comigo?
Vamos calcular a área da superfície novamente e chegar à resposta correta.
A superfície é definida como a parte da esfera que está no interior do cone
Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando coordenadas esféricas:
Onde varia de 0 a 2, varia de 0 a e varia de 0 a .
Passo 2
Agora, vamos calcular a área usando a fórmula da área de uma superfície paramétrica:
Calculando as derivadas parciais das coordenadas paramétricas:
Passo 3
Substituindo essas derivadas parciais na fórmula da área:
Agora, podemos calcular a integral interna:
Passo 4
A integral que precisamos calcular é a seguinte:
Lembrando que para esta superfície.
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a
Peço desculpas pelas confusões anteriores. Vamos refazer o cálculo corretamente.
Passo 5
A integral que precisamos calcular é a seguinte:
Agora, multiplicamos pelo fator externo da integral: