Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da hipérbole de equação:

Primeiro, devemos deixar a expressão parecida com uma das formas reduzidas que vimos na teoria!! Para isso, vamos completar quadrados e ajeitar a expressão:

Separando as coias que tem e

Podemos reescrever essa parte com da seguinte maneira

E vamos fazer a mesma coisa pra

Assim a nossa equação fica

Dividindo tudo por , temos:

Chegamos na forma do CASO 3. Com a expressão nesse formato conseguimos identificar o valor de e . O valor de continua a ser o maior valor do denominador, e o o menor, assim:

Para achar o valor de , usamos a relação :

Já temos os valores de e . Como estamos no CASO 3, vamos fazer uma mudança de coordenadas para então resolvermos o problema num sistema como se fosse o CASO 2. Assim, mudando as coordenadas por:

Nossa equação no sistema fica:

Pronto, agora estamos no CASO 2, e achamos os parâmetros normalmente.

Nossa hipérbole estará como na figura acima no sistema , então teremos:

Substituindo os valores de e

Mas, cuidado, ainda não terminamos, pois esses valores que encontramos acima estão no sistema . Vamos voltar para o sistema usando as seguintes relações:

Pronto!! Agora sim achamos os parâmetros no . Só falta fazer o esboço!!