No plano , considere o ponto e a reta , mostre que o lugar geométrico dos pontos tais que é uma cônica.
- Identifique .
- Determine os parâmetros geométricos de .
- Determine a excentricidade de .
- Faça um esboço de .
Passo 1
- Pra determinar qual é a cônica, vamos abrir essa expressão que ele nos deu!
- Da equação que obtivemos no item (a), a gente sabe que:
- A excentricidade é moleza! É só usarmos a definição.
- Aqui vamos prestar atenção em algumas coisas: na equação da hipérbole,
O lado esquerdo é a distância de a , ou seja, de dois pontos. O lado direito é a distância de a , ou seja, de ponto a reta.
Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo:
Essa é a equação de uma hipérbole!
Passo 2
E da relação fundamental:
Portanto, os parâmetros geométricos são:
Eixo transverso: ;
Eixo conjugado: ;
Distância focal: .
Passo 3
Passo 4
O sinal positivo está no , então esse é o eixo que corta os ramos da hipérbole. Temos que traçar as assíntotas. Na hipérbole, as assíntotas têm equação:
Então, esboçando, vamos obter uma figura assim:
Resposta
- : hipérbole.
- Eixo transverso: ;
Eixo conjugado: ;
Distância focal: .