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Exercícios Resolvidos de Hipérboles

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Exercício 712345689

Enunciado

Seja H uma hipérbole com focos sobre o eixo O x , centro na origem e eixo transverso (distância entre os vértices) 10. Sabendo que o ponto P = ( 10 ,   12 3 ) ∈ H , determine a equação reduzida, as coordenadas dos focos e vértices e as equações das assíntotas de H .

Passo 1

Bora analisar as informações que o enunciado deu.

Se o eixo transverso é 10, isso quer dizer que o parâmetro a vale 10 2 = 5 .

E como os focos estão no eixo O x , podemos escrever que a equação de H é do tipo

x 2 a ² - y 2 b 2 = 1

Como já temos o parâmetro a :

x 2 25 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Tendo a equação genérica de H , vamos substituir o ponto P para encontrarmos o parâmetro b

10 2 25 - ( 12 3 ) 2 b 2 = 1

100 25 - 144 × 3 b 2 = 1

144 × 3 b 2 = 100 25 - 1

144 × 3 b 2 = 3

b 2 = 144

Substituindo na equação de H :

x 2 25 - y 2 144 = 1

Logo, nossos parâmetros são

a 2 = 25 → a = 5

b 2 = 144 → b = 12

c 2 = a 2 + b 2 = 169 → c = 13

Passo 3

Com base nos nossos parâmetros, agora a gente pode encontrar nossos focos e vértices:

F 1 = 0 + c ,   0 = ( 13 ,   0 )

F 2 = 0 - c ,   0 = ( - 13 ,   0 )

A 1 = 0 + a ,   0 = ( 5 ,   0 )

A 2 = 0 - a ,   0 = ( - 5 ,   0 )

Vamos igualar a equação reduzida a 0 e isolar y para encontrarmos as assíntotas:

x 2 25 - y 2 144 = 0

x 2 25 = y 2 144

144 × x 2 25 = y ²

y = 12 x 5 ou y = - 12 x 5

Resposta

x 2 25 - y 2 144 = 1

Focos: ( 13 ,   0 ) e ( - 13 ,   0 )

Vértices: ( 5 ,   0 ) e ( - 5 ,   0 )

Assíntotas: y = 12 x 5 e y = - 12 x 5

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